运用正切曲率半径分析角膜前表面的Q值规律

运用正切曲率半径分析角膜前表面的Q值规律作者：陈媛媛,王波,施明光    作者单位：温州医学院第二附属医院 眼科，浙江 温州 　325027 【摘要】  目的 运用正切曲率半径探讨人眼角膜前表面360°子午线Q值规律性。方法 中度近视无散光中国青年55人，采集Orbscan-Ⅱ角膜地形图上360条子午线、距角膜顶点0.3 mm为间隔的点的前表面曲率值。建立以角膜顶点为原点的笛卡儿空间三维坐标，绕Z轴旋转坐标，形成新的三维空间坐标系。采集正切图的前表面曲率，代入方程=[+(1+a2)y2]，各解出一套二次曲线公式x2=a2z2+a1z（前表面截痕），确定各切面偏心率Q值及截痕特性，并统计比较其差异性，从各子午线的截痕的曲线特征归纳角膜前表面曲面空间形态的数学表达式。结果 55人0°和180°子午线上的平均Q值分别为-0.211±0.22和-0.138±0.20，90°和270°子午线上的平均Q值分别为0.243±0.28和0.224±0.24。水平子午线的Q值趋向于-1，垂直子午线趋向于0。比较两种方法计算出来Q值的差异性，结果示在水平方向上的Q值没有差异性(P>0.05)，在垂直方向上的Q值有差异性(P<0.01)。结论 本研究分析了运用正切曲率半径值建立人眼前表面角膜数学模型的科学性，显示角膜前表面水平子午线方向非球面性趋向于长椭圆，垂直子午线方向非球面性趋向于扁椭圆，说明人眼角膜的非球面性特性主要由水平子午线实现。    【关键词】  角膜,二次曲线,正切曲率,前表面,数学模型    A study of anterior corneal asphericity Q for tangential curvature  CHEN Yuanyuan， WANG Bo， SHI Mingguang.    Department of Ophthalmology， the Second Affiliated Hospital of Wenzhou Medical College， Wenzhou China， 325027    ［Abstract］  Objective  To explore a mathematical model to evaluate the asphericity of the anterior cornea in myopic adults. Methods  The tangential curvature of the anterior cornea was measured every 0.3 mm from the apex in 360 meridians by an Orbscan-Ⅱ topographer. Cartesian coordinates were established with the origin at the apex of the cornea and its horizontal， vertical and optical axes were defined as axes X， Y and Z， respectively. Then every point was located. The coordinate was circumrotated to establish new coordinates to relocate the data from points in the oblique meridians. The mathematical formulas of the meridian sections of the anterior surface were analyzed as： anterior surface： =[+(1+a2)y2]. Asphericity Q in 360 meridians could be calculated. This is the curvature coefficient for the corneal function of asphericity. Results  Asphericity Q in the horizontal meridian of 55 people was -0.211±0.22 and -0.138±0.20. Asphericity Q in the vertical meridian of 55 people was 0.243±0.28 and 0.224±0.24. The asphericity Q in horizontal meridians was approximately -1. The asphericity Q in vertical meridians was approximately 0. There were significant differences in asphericity Q in the vertical meridians when the two methods were compared (P<0.01). There was no significant difference in asphericity Q in the horizontal meridians when the two methods were compared (P>0.01)， which originate from the tangential curvature and axis curvature. Conclusion  This paper reported a new method using tangential curvature to establish a mathematical model of the anterior cornea and an analysis of the regularity of the distribution of the asphericity Q. The curvature in the horizontal meridians is a prolate ellipse. The curvature in the vertical meridians is an oblate ellipse. The curvature of the horizontal meridians is important for anterior corneal asphericity.    ［Key words］  cornea； conic curve； tangential curvature； anterior； mathematic model     建立角膜模型对研究角膜形态很重要，目前用于临床检查的角膜地形图中建立角膜模型的模式都是Bennetts公式rs2=r02+(1-p)y2，这条公式采用的数据rs是轴向角膜地形图的矢状曲率半径（sagittal radius），它的前提是假设角膜的“球面倾向”（spherical bias），所以Bennett公式存在假设角膜为球面的误差问题。轴向角膜曲率半径也具有假设角膜的“球面倾向”，而正切角膜曲率半径是真实的局部曲率半经rt。本研究的目的就是，利用前一项研究的数学计算理论，证明采用正切角膜曲率半径比轴向曲率半径计算角膜模型数据具优越性。    Gullstrand精密模型眼很长久以来是人们研究眼球屈光学的经典眼球模型，它简略地将眼球的屈光面（包括角膜前后面和晶状体）都作为球面处理。后来Baker（1943）[1]认为角膜表面并非是一单纯的球面，提出了角膜的二次曲线公式理论：y2=2r0x-px2，该公式可以用来同时描述圆、椭圆、抛物线和双曲线的轨迹；Bennett等[2]于1991年提出了角膜截面公式：rs2=r02+(1-p)y2，其中y和rs可以直接从CVK地形图中获取，而用轴向角膜地形图的矢状曲率半径rs代替角膜顶点曲率半径r0来计算，基本原理都是根据Bennett的数学公式的角膜数学模型；2002年，Gatinel等[3]认为正常人角膜前表面为椭球面，提出方程x2+y2+（1+Q）z2-2r0z=1来表达其形状，但该方程式表达的是以Z轴为旋转轴的对称曲面，各条子午线的曲率变化均相等。人们对角膜形态的研究进展和角膜形态测量仪器互相促进和发展[4-5]，1999年出现的Orbscan-Ⅱ角膜地形图仪在原Orbscan系统上加了placido盘，可用来测量角膜前后表面地形、高度、角膜厚度、前房深度等参数。1 　材料和方法    1.1 　临床资料    1.1.1 　检查对象　 选取在本院进行准分子激光手术术前检查的中度近视青年55例(取单眼，男27眼，女28眼)，年龄17～27岁，平均(20.8±2.7)岁，平均等效屈光度（-4.29±0.36）DS。    1.1.2 　入选标准　 散瞳下检影验光度数-3.0～-6.00 DS，散光度数≤-0.50 DS，矫正视力均≥1.0。无眼部刺激症状、角膜接触镜配戴史、眼部器质性病变、眼部外伤史、眼部手术史，身体健康，既往无全身病史者。    1.2 　检查仪器 　Orbscan-Ⅱ角膜地形图系统为Salt Lake City公司生产的BAUSCH & LOMB SURGICAL(version 3.0)，该机器的精确性已经过国内外学者的研究确认[6]。    1.3 　检查方法　 选择拟在本院进行准分子激光手术的中度近视患者为研究对象[9]。熟练技术人员对每位研究对象进行Orbscan-Ⅱ检查。Orbscan-Ⅱ眼前节分析光采集头利用光学摄像头的裂隙灯光以45°角投射到角膜，对角膜进行扫描。20条光学切面自左向右扫描，另20条光学切面自右向左扫描，共扫描40条光学切面。每条光学切面可获取240个数据，因而每个角膜共有9600个数据供计算机分析处理。Orbscan-Ⅱ角膜地形图系统的软件根据这些数据计算出角膜前、后表面的角膜曲率(D)及全角膜厚度分布（?滋m）。同时对患者进行验光、眼轴测量、眼压测量、散瞳眼底检查。    1.4 　角膜模型的两种数据采集及建模途径    1.4.1  Bennett的建模方法  rs2=r02+(1-p)y2用角膜地形图轴向图的轴曲率半径rs换算顶点曲率半径r0，及p值计算，以角膜顶点为原点建立笛卡儿空间三维座标：水平轴为X轴，垂直轴为Y轴，光轴为Z轴。将Orbscan-Ⅱ角膜地形图上，在0°、90°、180°270°子午线上距角膜顶点分别为0.3 mm、0.6 mm、0.9 mm、2.4 mm、2.7 mm、3.0 mm处位置导出如下数据：前表面轴向角膜曲率，纵坐标是所在子午线的度数?兹，横坐标是在Z轴上的距离R。数据以txt文件形式导出后，转换成excel文件用于数学计算。    步骤：①采集轴向图0°、90°、180°、270°四条正交子午线上的数据F、R。②由rs=可得到rs，在0°或90°两条正交子午线由于y=R在0°（90°），任意取两点分别对应及F1、R1及F2、R2有以下公式：    rs21=r20+(1-p)y21rs22=r20+(1-p)y22    可解得r0、p，也就得出Q值[7](这里r0表示在顶点的曲率半径，由于建立的模型是实际模型的近似，所以我们是求出来的，而不是用测量出来的r0)    Q=p-1=-1-a2=-    r20=｜-｜    1.4.2  正切图的建模方法  数据采集：将Orbscan- Ⅱ角膜地形图在360条子午线上距角膜顶点分别为0.3 mm、0.6 mm、0.9 mm、2.4 mm、2.7 mm、3.0 mm处位置测出的前表面正切图角膜曲率、前表面轴向图角膜曲率导出。纵坐标是所在子午线的度数?兹，横坐标是在Z轴上的距离R。同样转换成excel文件用于数学计算。    建立笛卡儿空间三维坐标如图1，行坐标旋转：通过Orbscan-Ⅱ可以采集到人眼角膜前后表面上9600个点上的x、y、F，根据R=，?兹=arctan，可以得到每一个点的R、?兹、F。以角膜顶点为原点，光轴方向为Z轴，竖直方向为Y轴，建立直角坐标系，过Z轴在?兹角处作平面（即 y=cot?兹x）截二次曲面，得到一条二次曲线。为了得到一个标准的二次曲线方程，绕中心旋转坐标轴[8]，使这条二次曲线在新坐系下的YOZ面上，这时二次曲线的一般方程式为：(y)2=a1z+a2(z)2，下面我们就根据已知条件求a1、a2。每条子午线上取间隔为1.2 mm的两个点取为一组，两个点（x1，y1，z1）（x2，y2，z2）对应着（R1，?兹，F1）（R2，?兹，F2），根据坐标旋转后，x的坐标x=0，由于曲率半径与屈光度的关系：    r=，rts=[9]    (rs)2=+(1+a2)y2    解这个方程组[10]    =[+(1+a2)y2]    取2点坐标值即可得a1、a2。多次取值得到多组a1、a2的，最后取平均值作为输出值。运用依照上述2套数学公式用METLAB7.0软件编辑的程序，可以一次性自动计算出单眼360条所有子午线的a1、a2值，根据a1、a2与Q值的数学关系，同时得到Q值。列出8条子午线上的55人的前表面3 mm半径区正切方法Q值平均值（见表1）。    1.5  计算面的公式  根据a1、a2的符号，可以判断该二次曲线为椭圆。在每一个?兹处，我们都可以得到a1、a2、z1、z2，判断出这些二次曲线都是椭圆，从而得到整个角膜其后表面都是椭球。    我们在椭球上由计算机随机取点，任意取三点，就可以得到椭球的方程++=1的a、b、c的值，从而得到椭圆的方程，方法参照前一次的研究[11-12]。    第一步，据下面第一个公式，每条子午线上求出一个C，然后把所有的 C 平均。    第二步：代入下面方程组两个不同的?兹所对应的两组a1、a2，    c==(sin2?兹+cos2?兹)    可解得a、b。2  结果    水平子午线比垂直子午线的Q值更偏向-1，垂直子午线趋向于0，提示了水平子午线方向非球面性趋向于长椭圆，垂直子午线方向非球面性趋向于扁椭圆，这说明角膜的非球面性特性主要由水平子午线实现。将同一对象用两种方法计算出来的Q值进行统计比较，显示两种方法在水平子午线上差异没有统计学意义，而在垂直子午线上具有统计学意义(见表2)。采用配对t检验比较正切曲率半径方法与轴向曲率半径方法的Q值。    轨迹在每一个?兹处，都可以得到a1、a2，根据方程(y)2=a1z+a2(z)2可以判断该二次曲线轨迹的形态：即为圆(circle)、长椭圆(prolate)、扁椭圆(oblate)、双曲线或抛物线(parabola)，从而得到整个角膜前后表面二次曲面的形态。    轴向图：++=1    切向图：++=1    此面的结果是只取30°子午线所得。3  讨论    笔者在前次研究的基础上[12]，改进了计算前表面角膜Q值的方法，扩大了能够计算出的Q值的范围；改用正切曲率值建立前表面模型，并从数学方法上进行了相应的改进，而且深化到对360° Q值的分析，采用的对象为研究比较多的近视人群[13]。我们所建立的角膜模型的数学形式是任意子午线的二次曲线方程，不使用角膜顶点曲率半径r0，而是根据二次曲线方程的系数分析曲线的形态。    轴向角膜地形图是最常用的用来描述矢状方向的角膜屈光度的图形。轴向角膜地形图是一个描述角膜整个表面屈光度的比较简单的方法，它描述的是矢状方向的角膜屈光度（rs）。它对角膜屈光度的描述有不准确的地方，表达的不是“真正”的角膜屈光度。虽然是以“度”为单位给出的数值，轴向角膜地形图表达的却是曲率而不是屈光度，这两个概念虽然很接近，但并不是完全一致的。轴向角膜地形图在描述中央区时误差小一些，在描述周边区时就不够准确，但正切角膜地形图能够做到准确。轴向角膜地形图这一偏差的根源在于：它存在一个“球面偏差”理论，它假设所有的光线都是平行光线，以同样的角度折射入角膜，相交于光轴。尽管如此，轴向角膜地形图仍然是最常用的，因为它便于理解。正切角膜地形图是另一种描述角膜表面曲率的地形图，正切角膜地形图同时也被叫做“即时instantaneous”图，它是根据计算曲线上某点处的正切而来的（rt）。图1显示了rs与rt的几何数学关系。正切角膜地形图对某一点上的曲率突然变化非常敏感，典型例子是圆锥角膜[14]，正切角膜地形图上显示为比较接近真实状态的一个圆形区域的红色暖色调，而轴向角膜地形图上显示的是圆锥外侧区域的红色暖色调。正切角膜地形图又叫做“即时曲率”。    Leo G. Carney等通过一个近视度数与角膜地形图的跨区域研究，得出Q值与屈光不正度数有明显的正相关性的结论，认为Q值还与玻璃体腔深度、眼轴长度有显著相关性，未发现角膜曲率与Q值具有相关性。通过我们的数学方法对3 mm区360条子午线角膜前表面的Q值计算和分析，发现水平子午线Q值为负值，垂直子午线Q值为正值；水平子午线比垂直子午线的Q值更偏向-1，垂直子午线趋向于0，说明角膜的非球面性特性主要由水平子午线实现。    本次研究采用的是以中度近视青年人为对象。我们已经知道从青年人群到老年人群，角膜前表面散光有一个从顺轨到逆轨的变化趋势，所以对老年人、高度近视、高度散光人群还有待进一步的分析，进一步研究其与Q值之间的关系。【参考文献】[1] Baker T. Ray Tracing Through Non-Spherical Surfaces[J]. C Proc Phys Soc，1943，55：361-364.[2] Benntt AG， Rabbetts RB. What radius does the convential keratometer measure?[J]. Ophthal Physiol Opt，1991，11(4)：239-247.[3] Gatinel D， Haouat M， Hoang-Xuan T. A review of mathematical descriptors of corneal asphericity[J]. J Fr Ophthalmol， 2002，25(1)：81-90. [4] Douthwaite WA， Burek H. Mathematical models of the general corneal surface[J]. Ophthal Physiol Opt，1993，13(1)：68-72.[5] Preussner PR， Wahl J， Kramann C. Corneal model[J]. J Cataract Refract Surg，2003，29(3)：471-477.[6] Cairns G， McGhee CN. Orbscan computerized topography： Attributes，applications， and limitations[J]. 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